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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 12

Determine a derivada da função vetorial.

r t = 1 1 + t i + t 1 + t j + t 2 1 + t k

Passo 1

Oie, meu brother. Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Aqui a gente precisa encontrar a derivada da função vetorial:

r t = 1 1 + t i + t 1 + t j + t 2 1 + t k

E a gente faz isso derivando cada coordenada. No nosso caso, teremos que aplicar a regra do quociente para realizar essa derivação:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Passo 2

Derivada da coordenada i :

Para esta derivada vamos utilizar a regra do quociente.

f g ' = f ' g - f g ' g 2

d d t 1 1 + t = 0 - 1 1 + t 2

Derivada da coordenada j :

Para esta derivada também vamos utilizar a regra do quociente.

f g ' = f ' g - f g ' g 2

d d t t 1 + t = 1 + t - t 1 + t 2

Derivada da coordenada k :

Por fim aqui também utilizaremos a regra do quociente.

f g ' = f ' g - f g ' g 2

d d t t ² 1 + t = 1 + t ∙ 2 t - t ² 1 + t 2

Passo 3

Então podemos escrever:

r ' t = 0 - 1 1 + t 2 i + 1 + t - t 1 + t 2 j + 1 + t ⋅ 2 t - t 2 1 + t 2 k

r ' t = - 1 1 + t 2 i + 1 1 + t 2 j + t 2 + 2 t 1 + t 2 k

Resposta

A derivada de r é:

r ' t = - 1 1 + t 2 i + 1 1 + t 2 j + t 2 + 2 t 1 + t 2 k

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Prove:underset(X - P)(lim) F (X) = vec 0 harr underset(X - P)(lim) ||F (X)|| = vec 0 . (vec 0 é o v e t o r n u l o d e R^m) é
Prove:c ) underset(H - vec 0)(lim) F (P + H) = L harr underset(X - P)(lim) F (X) = L .
Suponha que underset(X - P)(lim) F ( X ) = L , c o m L != 0 . Prove que existe r0 tal que:0||X - P||r - ||F (X)||(||L||)/(2)
Sejam F : Ω ⊂ R n → R m e seja P um ponto de acumulação de Ω . Suponha que exista M0 tal que, para todo X ∈ Ω , F X - LM X - P , onde L ∈ R m é um vetor fixo. Calcule lim X → P ⁡ F ( X ) e justifique.