Enunciado

Determine a derivada da função vetorial.

r (t) = (1)/(1 + t) i + (t)/(1 + t) j + (t^2)/(1 + t) k

Passo 1

Temos que r (t) é uma função vetorial, desta forma para calcular a sua derivada precisamos derivar cada uma das coordenadas i , j e k .

Derivada da coordenada i :

Para esta derivada vamos utilizar a regra do quociente.

(d)/(d t) ((1)/(1 + t)) = (0 - 1)/((1 + t)^2)

Derivada da coordenada j :

Para esta derivada também vamos utilizar a regra do quociente.

(d)/(d t) ((t)/(1 + t)) = ((1 + t) - t)/((1 + t)^2)

Derivada da coordenada k :

Por fim aqui também utilizaremos a regra do quociente.

(d)/(d t) ((t ²)/(1 + t)) = ((1 + t) * 2 t - t ²)/((1 + t)^2)

Passo 2

Então podemos escrever

r^' (t) = (0 - 1)/((1 + t)^2) i + ((1 + t) - t)/((1 + t)^2) j + ((1 + t) * 2 t - t^2)/((1 + t)^2) k

r^' (t) = - (1)/((1 + t)^2) i + (1)/((1 + t)^2) j + (t^2 + 2 t)/((1 + t)^2) k

Resposta

A derivada de r é:

r^' (t) = - (1)/((1 + t)^2) i + (1)/((1 + t)^2) j + (t^2 + 2 t)/((1 + t)^2) k

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