Determine se a função dada é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função.

g x = 4 - x 3

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a função é biunívoca, isto é, se ela é injetora. Para que uma função seja inteira, diferentes valores de x devem dar, necessariamente, em diferentes valores de g ( x ) . Assim, devemos ter

s e   x 1 ≠ x 2 ⇒ g x 1 ≠ g ( x 2 )

Note que g ' x = - 3 x 2 ≤ 0 . Assim g é decrescente. Assim, não existem valores diferentes de x tais que g seja igual. Assim, g é biunívoca.

De fato, sejam a e b dois números no domínio de g tais que g a = g ( b ) . Assim,

4 - a 3 = 4 - b 3 ⇒ a 3 = b 3

A única solução real da equação a 3 = b 3 é a = b . Assim, o único jeito de g a = g ( b ) é se a e b forem iguais. Provamos então que g é injetora!

Passo 2

O gráfico de g é dado a seguir:

Observe que o gráfico satisfaz o teste da reta horizontal!

Resposta

É biunívoca.

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