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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.Revisão - Ex. 15

15. Dado que

f x = x x - 1 ,     g x = 1 x ,     h x = x 2 - 1

Encontre uma fórmula para f ∘ g ∘ h e dê o dominio dessa composta.

Passo 1

Show de buelas galeris, como queremos encontrar f ∘ g ∘ h , vamos dividir ela em partes para podermos encontrar separadamente, ou seja:

f ∘ g ∘ h = f g h x

Vamos primeiro olhar para g h x

Passo 2

Saca só, g x = 1 x , e h x = x 2 - 1 , logo:

g h x = g x 2 - 1

Então:

g x 2 - 1 = 1 x 2 - 1

g h x = 1 x 2 - 1

Passo 3

Agora para f g h x , temos que:

f g h x = f 1 x 2 - 1

Dado que f x = x x - 1   , temos então:

f 1 x 2 - 1 = 1 x 2 - 1 1 x 2 - 1 - 1

E agora multiplicando em cima e embaixo por ( x 2 - 1 ) , vamos obter:

1 x 2 - 1 1 x 2 - 1 - 1 = x 2 - 1 x 2 - 1 = 1 1 - x 2 - 1 = 1 2 - x 2

Portanto:

f ∘ g ∘ h = 1 2 - x 2

Passo 4

E o dominio dessa função é qualquer x tal que 2 - x 2 ≠ 0 , então

2 - x 2 ≠ 0

2 ≠ x 2

x ≠ ± 2

Portanto:

D m = x ∈ R ,   x ≠ ± 2  

Resposta

f ∘ g ∘ h = 1 2 - x 2 ,     D m = x ∈ R ,   x ≠ ± 2

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