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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.7 - Ex. 4

Use o método de Newton para estimar as duas raízes da função f ( x )   =   2 x   -   x 2   +   1 . Comece com x 0   =   0 para a raiz à esquerda e depois com x 0   =   2 para a raiz à direita. Então, determine x 2   em cada caso

Passo 1

O método de Newton nos diz que para estimarmos uma raiz x podemos fazer a seguinte aproximação

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Em que x n diz respeito à nossa aproximação anterior, no nosso caso vamos usar os valores de x 0 fornecidos no problema para encontrarmos x 2 .

Passo 2

Primeiramente calculemos a derivada da nossa função para aplicarmos o método de Newton, assim,

f x =   2 x   -   x 2   +   1 → f ' x = 2 - 2 x

Para o nosso caso a fórmula de Newton se parecerá com

x n + 1 = x n - 2 x n - x n 2 + 1 2 - 2 x n

Passo 3

Para nosso x 0 = 0

x 0 + 1 = x 0 - 2 x 0 - x 0 2 + 1 2 - 2 x 0

x 0 + 1 = 0 - 0 - 0 + 1 2 - 0

x 1 = - 1 2

Aplicando novamente o método encontramos

x 2 = - 1 2 - 2 ⋅ - 1 2 - - 1 2 2 + 1 2 - 2 ⋅ - 1 2

x 2 =   - 1 2 - - 1 - 1 4 + 1 2 + 1 = - 5 12

x 2 ≈ - 0.41667

Passo 4

Por fim, para nosso x 0 = 2

x 0 + 1 = x 0 - 2 x 0 - x 0 2 + 1 2 - 2 x 0

x 1 = 2 - 2 ⋅ 2 - 4 + 1 2 - 2 ⋅ 2

x 1 = 2 - 1 - 2

x 1 = 5 2

Aplicando novamente o método encontramos

x 2 = x 1 - 2 x 1 - x 1 2 + 1 2 - 2 x 1

x 2 = 5 2 - 2 ⋅ 5 2 - 25 4 + 1 2 - 2 ⋅ 5 2

x 2 = 5 2 - 1 12 = 29 12  

x 2 ≈ 2.41667

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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