Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 1

Seja f : [0,1] -> R dada por

f ( x ) = {[[0,,s,e,,x,,!in,,{0 , (1)/(2) , 1},],[1,,s,e,,x,,in,,{0 , (1)/(2) , 1}]])

Prove que f é integrável em [ 0,1 ] e que

int_0^1 f ( x ) d x = 0

Passo 1

Sabemos que f é integrável, logo:

int_a^b f ( x ) d x = underset(max /_\ x -> 0)(lim) sum_(i = 1)^n f ( c_i ) /_\ x_i

Está parecendo complicado? Calma, fica tranquilo que vamos fazer isso juntos. Vem comigo!

Passo 2

Inicialmente, nós temos esse problema aqui:

f ( x ) = {[[0,,s,e,,x,,!in,,{0 , (1)/(2) , 1},],[1,,s,e,,x,,in,,{0 , (1)/(2) , 1}]])

Aplicando ao problema, devemos encontrar uma forma de calcular o que está interno ao somatório. Assim, temos:

f ( c_i ) = {[[0,,s,e,,c_i,,!in,,{0 , (1)/(2) , 1},],[1,,s,e,,c_i,,in,,{0 , (1)/(2) , 1}]])

Multiplicando pelo /_\ x_i :

f ( c_i ) /_\ x_i = {[[0,,s,e,,c_i,,!in,,{0 , (1)/(2) , 1},],[/_\ x_i,,s,e,,c_i,,in,,{0 , (1)/(2) , 1}]])

Passo 3

Note que somente em 3 casos haverá um valor diferente de 0 , sendo igual à /_\ x_i .

int_0^1 f ( x ) d x = underset(m a x /_\ x -> 0)(l i m) ( /_\ x_i + /_\ x_i + /_\ x_i )

Assim, uma vez que /_\ x_i tende à 0 , pode-se dizer que todos os termos do somatório são iguais (pelo menos tendem).

int_0^1 f ( x ) d x = ( 0 + 0 + 0 )

Passo 4

Já que todos os termos do somatório são iguais à 0 , pode-se afirmar que o somatório é igual à 0 .

int_0^1 f ( x ) d x = 0

Resposta

f ( x ) é integrável no intervalo [ 0,1 ] , sendo igual à zero.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados. ∫ x 5 + 2 x 2 - 1 x 4 d x
Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados. ∫ 9 t 2 + 1 t 3 d t
Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados. ∫ ( a x 4 + b x 3 + 3 c ) d x
Nos exercícios de 11 a 31, calcular as integrais indefinidas.15. ∫ 4 x 4 - x 2 d x
Nos exercícios de 11 a 31, calcular as integrais indefinidas.18. ∫ cos ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ d θ