Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 74
74. a)Prove que se existir em cada ), então serão contínuas em
b) O que se pode afirmar quanto a continuidade de e suas derivadas se existir para cada
Passo 1
a)Para essa demonstração usaremos a redução ao absurdo.
Suponha que exista em cada e suponha também que não são contínuas em .
Mas se não é contínua em então ela não pode ser derivável em (a,b), pois se é derivável, então ela é contínua.
Isso implica que não existe em o que é absurdo pois se não existe em então ela também não é contínua, portanto também não pode existir para todo , o que é absurdo, pois em nossa hipótese nós admitimos que existe para todo
Passo 2
b)Utilizando-se do mesmo argumento do exercício a), temos que para uma derivada de ordem existe, todas as derivadas de ordem menor que também devem existir em , portanto devem ser contínuas em .
Resposta
Demonstração acima.