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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 42

Aproxime a integral usando (a) a aproximação pelo ponto médio M 10 , (b) a aproximação trapezoidal T 10 e (c) a aproximação S 20 pela regra de Simpson. Em cada caso, encontre o valor exato da integral e aproxime o erro absoluto. Expresse sua resposta com pelo menos quatro casas decimais.

∫ - 1 1 1 1 + x 2 d x

Passo 1

Vamos começar fazendo a aproximação pelo ponto médio. Calculamos o ∆ x :

∆ x = 1 - ( - 1 ) 10 = 0,2

Calculando a aproximação:

Achando os pontos multiplicamos o valor da soma pelo ∆ x :

∫ - 1 1 1 1 + x 2 d x = 0,2 × 7,862 31

Assim, temos que a aproximação pelo ponto médio é M 10 ≈ 1,57246 . O valor aproximado da integral é ∫ - 1 1 1 1 + x 2 d x ≈ 1,57079 , assim, o erro será

E M = 1,57079 - 1 , 57246 = 1,67 × 10 - 3

Passo 2

Para a aproximação trapezoidal, temos:

∆ x = 1 - ( - 1 ) 2 × 10 = 0,1

Calculando a aproximação:

Achando os pontos multiplicamos o valor da soma pelo ∆ x :

∫ 1 3 1 x + 1 d x = 0,1 × 15,67463

Assim, temos que a aproximação trapezoidal é T 10 ≈ 1,56746 . O valor aproximado da integral é ∫ - 1 1 1 1 + x 2 d x ≈ 1,57079 , assim, o erro será

E T = 1,57079 - 1,56746 = 3,06 × 10 - 0 6

Passo 3

E por fim, para a regra de Simpson, temos:

∆ x = 1 3 × 2 - ( - 1 ) 20 = 1 30

Calculando a aproximação:

Achando os pontos multiplicamos o valor da soma pelo ∆ x :

∫ 1 3 1 x + 1 d x = 1 30 × 47,12389

Assim, temos que a aproximação trapezoidal é S 20 ≈ 1 , 57080 . O valor aproximado da integral é ∫ - 1 1 1 1 + x 2 d x ≈ 1,57079 , assim, o erro será

E S = 1,57079 - 1,57080 = 3,69 × 10 - 6

Prontinho!!

Resposta

M 10 ≈ 1,57246 e E M = 1,67 × 10 - 3

T 10 ≈ 1,56746 e E T = 3,06 × 10 - 0 6

S 20 ≈ 1,57080 e E S = 3,69 × 10 - 6

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