Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.11 - Ex. 14

Aproxime por um polinômio de Taylor com grau em .

Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.

Verifique seu resultado na parte (b) traçando

Passo 1

E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos arrebentar!

Vamos começar encontrando o polinômio de Taylor de grau 2 para centrado em . Isso envolve calcular as derivadas de até a segunda ordem e substituí-las na fórmula da série de Taylor.

Depois, vamos utilizar a desigualdade de Taylor para estimar o erro da aproximação no intervalo . Isso requer calcular a terceira derivada de e determinar um valor M que limite essa derivada no intervalo dado.

E, finalmente, traçaremos o gráfico de usando a definição para verificar visualmente a precisão da aproximação.

Partiuuu!!!!

Passo 2

(a) Vamos encontrar o polinômio de Taylor de grau 2 para centrado em .

A fórmula da série de Taylor é:

Para precisamos calcular até a segunda derivada de .

Calculando as derivadas e substituindo no centro :

Então o polinômio de Taylor de grau 2 é:

Substituindo os valores encontrados:

Passo 3

(b) Para usar a desigualdade de Taylor temos a seguinte relação, se , então

Então para estimar o erro, vamos precisar primeiramente da terceira derivada

Agora precisamos de um valor que seja maior que essa função em todo o intervalo , para isso podemos analisar o seguinte, em todo o intervalo a função de está crescente, porém é negativa, então em módulo para pegarmos o maior valor da função, precisamos do menor valor do intervalo () e substituirmos, podemos dizer que