Encontre o polinômio de Taylor T3(x) para a função f ao redor de a . Esboce o gráfico de f e de T₃ no mesmo gráfico.

4.

f(x) = sen(x), a = pi / 6

Passo 1

Fala aí! Tudo show??

Olha só, o enunciado pede pra gente encontrar o polinômio de Taylor T 3 ( x ) para a função f x = s e n   x ao redor de a = π 6 , além de esboçar o gráfico de f e T 3 . Tudo belezinha, né?

A série de Taylor é dada por:

T x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

Onde f ( n ) serão as nossas derivadas que iremos fazer. No caso, faremos três derivadas, já que a questão quer T 3 ( x ) .

Passo 2

Podemos reescrever a série de Taylor escrita no passo 1 como:

T x = ∑ n = 0 3 f n π / 6 n ! x - π 6 n

Sabendo os resultados da derivada de s e n   x , então podemos jogar na nossa fórmula e assim, expandir:

T 3 x = 1 / 2 0 ! x - π 6 0 + 3 / 2 1 ! x - π 6 1 + 1 / 2 2 ! x - π 6 2 + 3 / 2 3 ! x - π 6 3

E simplificando a expressão, obtemos:

T 3 x = 1 2 + 3 2 x - π 6 - 1 4 x - π 6 2 + 3 12 x - π 6 3

Passo 3

Agora, substituindo o valor de a na expressão, obtemos os seguintes resultados:

E o gráfico contendo f e T 3 ( x ) é dado a seguir:

Resposta

T 3 x = 1 2 + 3 2 x - π 6 - 1 4 x - π 6 2 + 3 12 x - π 6 3

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