Encontre o polinômio de Taylor T3(x) para a função f ao redor de a . Esboce o gráfico de f e de T_3 no mesmo gráfico.

3.

f(x) = e^x, a = 1

Passo 1

Fala, galera bonita! Tudo beleza?

Olha só, a questão pede pra gente encontrar o polinômio de Taylor T 3 ( x ) para a função f x = e x ao redor de a = 1 , além de esboçar o gráfico de f e T 3 . Moleza, né?

A série de Taylor é dada por:

T x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

Onde f ( n ) serão as nossas derivadas que iremos fazer. No caso, faremos três derivadas, já que a questão quer T 3 ( x ) .

Passo 2

Podemos reescrever a série de Taylor escrita no passo 1 como:

T x = ∑ n = 0 3 f n 1 n ! x - 1 n

Sabendo que as derivadas de e x resultam nela mesma, então podemos jogar na nossa fórmula e assim,

T 3 x = e 0 ! x - 1 0 + e 1 ! x - 1 1 + e 2 ! x - 1 2 + e 3 ! x - 1 3

E simplificando a expressão, obtemos:

T 3 x = e + e ( x - 1 ) + 1 2 e x - 1 2 + 1 6 e x - 1 3

Passo 3

Agora, substituindo o valor de a na expressão, obtemos os seguintes resultados:

E o gráfico contendo f e T 3 ( x ) é dado a seguir:

Resposta

T 3 x = e + e ( x - 1 ) + 1 2 e x - 1 2 + 1 6 e x - 1 3

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