Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 55
Calcule a integral indefinida como uma série infinita.
Passo 1
Falaaaaaa galerinha! Borá resolver mais uma questão!? Partiu então!
Vamos entender o enunciado. O que ele pede? Que calculamos a integral indefinida, ou seja, uma integral que não possui os limites, como uma série infinita.
E agora? Não sei o que fazer. ☹
Pensa comigo. Vamos montar uma estratégia juntos!?
Nesse exercício iremos analisar a integral , vamos verificar se possui uma série de Maclaurin para algum dos termos com o auxílio da tabela 1.
Com o auxílio da Tabela 1, temos que:
Vamos lembrar de um outro conceito importante, a relação entre integral e somatório. Você lembra? Vou te ajudar. A integral, nada mais é que a área abaixo da curva, que também pode ser descrita por um somatório de n temos.
Sabendo dessas informações, vamos comparar a equação fornecida com a série e tentar transforma em uma serie de Maclaurrin.
Passo 2
Vamos fazer por partes, beleza!? Assim irá ficar mais claro as etapas.
Primeiro vamos avaliar o denominador da integral:
Observe que já sabemos a série de Maclaurin para :
Agora vamos fazer em ambos os lados:
Mas observe, se aplicarmos :
Repare que o se cancela do lado direito da igualdade, ficando:
Agora vamos avaliar a expressão :
Dessa forma, vamos dividir ambos os lados da equação abaixo por x:
Simplificando o lado direito, encontramos a série de Maclaurin para a função :
Passo 3
Agora estamos quase finalizando! Como já obtemos a série de Maclaurin para a função, vamos aplicar a integral:
Com isso, a integral indefinida é dada por:
Como resolver essa integral, lembre-se, o termo que estamos integrando e x, portanto tudo que tem além de x é constante para a integral.
Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma, isolando os termos que são constantes:
Resolvendo a integral simples, temos:
Lembre-se, que se trata de uma integral indefinida, logo irá aparecer uma constante .
Simplificando, temos: