Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.6 - Ex. 17
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
17.
Passo 1
Fala, galera. Tudo show?
A questão nos deu aquela série e quer que a gente classifique ela em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Lembrando que uma série é absolutamente convergente quando seu módulo nos dá uma outra série converge. Vamos verificar:
Esse nosso módulo te lembra alguma outra série? Hummmm... Sim! A série harmônica, que é divergente:
Podemos fazer um Teste da Comparação aqui:
Essa relação é verdadeira!
Portanto, pelo Teste de Comparação, como a série harmônica diverge, temos que a série em questão também diverge.
Mas calma aí!
Passo 2
Também podemos verificar a convergência da pelo Teste da Série Alternada, já que nos aparece esse :
Onde ela obedece a dois critérios:
Seja nosso .
Vamos testar cada um desses critérios.
Passo 3
Essa relação é verdadeira! Ela converge nesse critério. Vamos ver o próximo.
Passo 4
Substituindo, sabe-se que tende a zero, logo:
Beleza, por esse critério também vai convergir!
Mas vamos ao resultado final.
Vimos que pelo Teste da Série Alternada, essa bomba de série converge.
Mas se a gente fizer o módulo dela, pudemos comparar com outra parecida e vimos que ela diverge.
Logo: ela converge, mas não é absolutamente convergente.
Só pode ser condicionalmente convergente.