Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.4 - Ex. 13

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização da função naquele ponto.

Passo 1

Show de bola, galera. Pra resolver esse tipo de questão não tem mistério.

Dada a função:

E o ponto:

Basicamente precisamos avaliar se as derivadas parciais e existem e são contínuas num dado ponto.

Para a linearização devemos utilizar a seguinte formula:

Em que é o ponto dado.

Passo 2

Então vamos lá....Para o nosso caso, temos:

Percebemos que as nossas derivadas existem para o nosso ponto de interesse . Além disso, percebemos que as nossas derivadas parciais são contínuas para .

Desta forma, concluímos que a nossa função é diferenciável no ponto .

Passo 3

Beleza...Agora só falta calcular a linearização da função ao redor do ponto de interesse.

Para calcularmos a linearização ao redor do ponto , basta fazer:

Resposta

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f é diferenciável em (0,0)? Justifique.a) f ( x , y ) = (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2) se ( x , y ) != ( 0,0 ) e f ( 0,0 ) = 0

f é diferenciável em (0,0)? Justifique.b) f ( x , y ) = (x^4)/(x^2 + y^2) se ( x , y ) != ( 0,0 ) e f ( 0,0 ) = 0

Prove que as funções dadas são diferenciáveis.f (x , y) = x^2 + y^2

f é diferenciável em (0 , 0) ? Justifique.f (x , y) = (x^2 y)/(x^2 + y^2) s e (x , y) != (0 , 0) e f (0 , 0) = 0

Prove que as funções dadas são diferenciáveis.c) f ( x , y ) = x^2 y^2