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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.6 - Ex. 62

Mostre q a soma dos primeiros 2n termos da série

1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 - 1 5 + 1 5 - 1 6 + …

É a mesma dos primeiros n termos da série

1 1 * 2 + 1 2 * 3 + 1 3 * 4 + 1 4 * 5 + 1 5 * 6 + …

Essas séries convergem? Qual é a soma dos primeiros 2 n   +   1 termos da primeira série? Se as séries convergem, qual é sua soma?

Passo 1

Falaaa, seus lindos! Vamos lá pra mais uma questão de Sequências Infinitas e Séries!

Temos que a série

S n = 1 1 * 2 + 1 2 * 3 + 1 3 * 4 + 1 4 * 5 + 1 5 * 6 + … = ∑ k = 1 n 1 k ( k + 1 )

Ou seja, a partir de equivalência de frações:

∑ k = 1 n 1 k ( k + 1 ) = ∑ k = 1 n 1 k - 1 k + 1

Ao escrevermos os termos dessa segunda sequência, temos:

∑ k = 1 n 1 k - 1 k + 1 = 1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 - 1 5 + 1 5 - 1 6 + …

Logo, isso condiz com os primeiros 2n termos da primeira série, portanto podemos concluir que as duas séries são as mesmas.

⁡

Passo 2

E sim! Essas séries convergem para

S n = ∑ k = 1 n 1 k - 1 k + 1 = 1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 - 1 5 + 1 5 - 1 6 + …

Com:

S n = 1 - 1 n + 1

Dessa forma, temos que:

lim n → ∞ ⁡ S n = lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n + 1 = 1 ⁡

Percebemos assim que ambas as séries convergem para 1.

Passo 3

A soma dos primeiros 2 n   +   1 termos da primeira série é:

1 - 1 n + 1 + 1 n + 1 = 1

Já a soma das séries convergentes é:

lim n → ∞ ⁡ S n = lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n + 1 = 1

Resposta

A soma dos primeiros 2n termos da primeira série é a mesma dos primeiros n termos da segunda série. Ambas as séries convergem para 1.

A soma dos primeiros 2 n   +   1 termos da primeira série é igual a 1.

E a soma das séries convergentes é igual a 1.

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