Mostre q a soma dos primeiros 2n termos da série 1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 - 1 5 + 1 5 - 1 6 + … É a mesma dos primeiros n termos da série 1 1 * 2 + 1 2 * 3 + 1 3 * 4 + 1 4 * 5 + 1 5 * 6 + … Essas séries convergem? Qual é a soma dos primeiros 2 n+1 termos da primeira série? Se as séries convergem, qual é sua soma?

Enunciado

Falaaa, seus lindos! Vamos lá pra mais uma questão de Sequências Infinitas e Séries!

Temos que a série

Ou seja, a partir de equivalência de frações:

Ao escrevermos os termos dessa segunda sequência, temos:

Logo, isso condiz com os primeiros 2n termos da primeira série, portanto podemos concluir que as duas séries são as mesmas.

E sim! Essas séries convergem para

Com:

Dessa forma, temos que:

Percebemos assim que ambas as séries convergem para 1.

A soma dos primeiros termos da primeira série é:

Já a soma das séries convergentes é:

A soma dos primeiros 2n termos da primeira série é a mesma dos primeiros n termos da segunda série. Ambas as séries convergem para 1.

A soma dos primeiros termos da primeira série é igual a 1.

E a soma das séries convergentes é igual a 1.