Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 5

Aproxime ln ⁡ 5 usando a regra do ponto médio com n = 10 e estime a magnitude do erro comparando a sua resposta com a produzida diretamente por um recurso computacional.

Passo 1

A fórmula para o ln ⁡ x é:

ln ⁡ x = ∫ 1 x 1 t d t

Se queremos ln ⁡ 5 :

ln ⁡ 5 = ∫ 1 5 1 t d t

E pela regra do ponto médio:

∫ a b f t d t ≈ ∆ t ∑ k = 1 n f t k *

Onde ∆ t é o comprimento comum dos subintervalos e t 1 * ,   t 2 * , … ,   t n * são os pontos médios.

Nesse caso, temos 10 subintervalos, logo ∆ t = 5 - 1 10 = 0,4 .

Passo 2

Então:

k = 1 → t 1 * = 1,2 → 1 t 1 * = 0,8333 3 4

k = 2 → t 2 * = 1 , 6 → 1 t 2 * = 0 , 625

k = 3 → t 3 * = 2 → 1 t 3 * = 0 , 5

k = 4 → t 4 * = 2 , 4 → 1 t 4 * = 0 , 416667

k = 5 → t 5 * = 2 , 8 → 1 t 5 * = 0 , 357143

k = 6 → t 6 * = 3 , 2 → 1 t 6 * = 0 , 3125

k = 7 → t 7 * = 3 , 6 → 1 t 7 * = 0 , 277778

k = 8 → t 8 * = 4 → 1 t 8 * = 0 , 25

k = 9 → t 9 * = 4 , 4 → 1 t 9 * = 0 , 227273

k = 1 0 → t 1 0 * = 4 , 8 → 1 t 1 0 * = 0 , 208334

Somando os valores encontrados, temos: 4,008029

Voltando na fórmula:

∆ t ∑ k = 1 n f t k * = 0,4 4,008029 = 1,60321 2

Passo 3

O valor de ln ⁡ 5 em uma calculadora é: 1,609438 .

De modo que o tamanho do erro na aproximação do ponto médio é cerca de:

1,609438 - 1,603212 = 0,006226

Resposta

1,60321 2 e erro de 0,006226 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a integral indefinida geral. ∫ 2 + tan 2 ⁡ θ d θ
Encontre a integral indefinida geral. ∫ 2 t 1 + 5 t d t
Encontre a integral indefinida geral. ∫ 1 + r r 2 d r
Encontre a integral indefinida geral ∫ 1 + x + x x d x
Num mercado puramente competitivo, o preço de um bem é naturalmente direcionado ao valor em que a quantidade demandada pelos consumidores corresponde à quantidade produzida pelos produtores, e diz-se