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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 15

Encontre a integral indefinida geral.

∫ 2 + tan 2 ⁡ θ d θ

Passo 1

Galera, temos que resolver a seguinte integral:

∫ 2 + tan 2 ⁡ θ d θ

E aqui, vamos precisar ser um pouco criativos.

Nós não sabemos qual é a integral de tangente ao quadrado.

Mas nós sabemos qual é a integral de secante ao quadrado!

∫ sec 2 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ + C

Dessa forma, se manipularmos a expressão para aparecer uma secante ao quadrado, isso pode nos ajudar.

Para isso, vamos usar a seguinte identidade trigonométrica que é:

1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

Por fim, vamos usar que a soma de integrais é a integral da soma e aí é papou!

∫ f x + g x d x = ∫ f x d x + ∫ g x d x

Passo 2

Para calcular essa integral vamos manipular a expressão, vamos expandir:

∫ 2 + tan 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 + 1 + tan 2 ⁡ θ d θ

Temos que:

1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

Vamos substituir isso na integral:

∫ 1 + 1 + tan 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 + sec 2 ⁡ θ d θ

E agora vamos transformar isso em duas integrais separadas:

= ∫ 1 d θ + ∫ sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando essas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas.

A integral da constante:

∫ k   d x = k x + C

A integral da secante ao quadrado:

∫ sec 2 ⁡ x d x = tan ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 d θ + ∫ sec 2 ⁡ θ d θ = θ + tan ⁡ θ + C

Resposta

∫ 2 + tan 2 ⁡ θ d θ = θ + tan ⁡ θ + C

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