Um ponto P move-se sobre a parábola y^2 = x , x > 0 e y > 0 . A abscissa x está variando com uma aceleração que, em cada instante, é o dobro do quadrado da velocidade da ordenada y . Mostre que a ordenada está variando com aceleração nula.

Passo 1

O enunciado nos diz que x tem aceleração que corresponde ao dobro da velocidade de y , ou seja:

d 2 x d t 2 = 2 d y d t 2

Como P move-se sobre a parábola y 2 = x , vamos derivar a função em termos de t :

2 y d y d t = d x d t

Derivando novamente, temos:

2 d y d t ⋅ d y d t + y ⋅ d 2 y d t 2 = d 2 x d t 2

2 d y d t 2 + 2 y ⋅ d 2 y d t 2 = d 2 x d t 2

2 y ⋅ d 2 y d t 2 = d 2 x d t 2 - 2 d y d t 2

d 2 y d t 2 = 1 2 y d 2 x d t 2 - 2 d y d t 2

Passo 2

Como o enunciado nos diz que d 2 x d t 2 = 2 d y d t 2 , temos:

d 2 y d t 2 = 1 2 y 2 d y d t 2 - 2 d y d t 2

d 2 y d t 2 = 1 2 y ⋅ 0

d 2 y d t 2 = 0

Assim, mostramos que a ordenada está variando com aceleração nula.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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