Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.4 - Ex. 35ab
Nos Exercícios de 33 a 35, use o conceito de taxa relativa, definido como segue se y = f(x), a
taxa relativa da variação de y com relação a x em x1 é dada por ou, equivalentemente,
calculada em x = x1
35. Suponha que o número de pessoas da população de uma determinada cidade t anos após 1º de janeiro de 1986 será
- Ache a taxa segundo a qual a população terá crescido, em 1º de janeiro de 1995;
- Ache a taxa de crescimento relativo da população, estimada em 1º de janeiro de 1995 com aproximação de 0,1%.
Passo 1
A função fornecida nada mais é que a função que diz a quantidade de habitantes de uma cidade. Achar a taxa de crescimento da população nada mais é que achar a taxa de variação da mesma, que é só derivar a função dada, e avaliar no instante de tempo que ele deseja.
Achar o crescimento relativo já está fácil de ver como vamos encontrá-lo, basta usar a fórmula fornecida pelo enunciado:
Mas uma diferença a ser notada entre a taxa de crescimento relativo e a de crescimento absoluto (uma outra forma de falar o que o item “a” pede) é que a relativo é dada em porcentagem e a absoluto é definida por números.
Por isso a aproximação de 0,1 porcento pedido no enunciado, que nada mais é que uma aproximação até a primeira casa decimal.
Um outro detalhe a ser notado é que a função fornecida pelo enunciado só começa a valer a parti de 1º de janeiro de 1986, logo até o dia 1º de janeiro de 1995 só se passaram 9 anos, assim t = 9 será o instante avaliado.
Para facilitar nossa vida, vamos chamar a função dada no enunciado de p, assim:
Passo 2
Primeiro vamos derivar a função p:
Passo 3
Agora substituindo t = 9 na função encontrada, acharemos a taxa de crescimento da população:
Passo 4
Agora para resolver o item “b” vamos calcular somente p(9), já que o p’(9) já foi calculado no item “a”, depois usaremos a fórmula fornecida pelo enunciado:
Substituindo na fórmula do enunciado:
Resposta
- A taxa em que a população terá crescido em 1º de janeiro de 1995 será de 920 ao ano.
- A taxa de crescimento relativo em 1º de janeiro de 1995 é de 6,1%.