Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 40
Um arame de cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços, um dos quais será torcido de modo a formar um quadrado e o outro, a formar um triângulo equilátero. De que modo deverá ser cortado para que a soma das áreas das regiões limitadas pelas figuras obtidas seja mínima?
Passo 1
Nessa questão vamos ter que encontrar a função que descreve a área e através do gráfico achar o mínino. Vamos começar!
Vamos supor que os dois pedaços de arames sejam e , assim temos:
Com vamos construir um quadrado de lado .
Logo, o seu perímetro será,
Já com a parte vamos construir o triângulo equilátero (ou seja, todos os lados são iguais).
Então o perímetro do triângulo equilátero será dado por:
Lembrando que o perímetro é a soma dos lados da figura geométrica!
Agora que temos os lados, vamos calcular as áreas!
Passo 2
Agora as áreas do quadrado e do triângulo equilátero são dadas pelas fórmulas:
e
Vamos somar as áreas, e substituir os valores de e :
Substituindo por e (conforme encontramos na passo 1)
Vamos então isolar o da expressão do dos segmentos e substituir na fórmula da área:
Substituindo,
Ajeitando ficamos com
Agora que temos tudo em função de , vamos achar a área mínima pelo gráfico!
Passo 3
Vamos analisar o gráfico de
ele á uma parábola com concavidade voltada para cima, vamos achar a coordenada do vértice da parábola, pois nele temos o valor mínimo.
A coordenada é dada pela fórmula:
Temos que:
e
Substituindo ficamos com:
Passo 4
Substituindo de volta na fórmula dos segmentos para achar o :
Temos então que os segmentos são para o quadrado e para o triângulo.
Resposta
e