Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 38
Divida um segmento de cm de comprimento em duas partes, de modo que a soma dos quadrados dos comprimentos seja mínima.
Passo 1
Vamos supor que as duas partes sejam e , assim temos:
Como cada parte formará um quadrado e a área do quadrado é dada por (onde é o lado do quadrado), a soma dos quadrados dos comprimentos é dada pela fórmula:
Vamos então isolar o da primeira expressão que achamos,
E agora substituir na fórmula da soma dos quadrados:
Agora que achamos a fórmula da soma, vemos que ela é descrita por um polinômio de segundo grau, então vamos achar o mínimo da função.
Passo 2
O gráfico de é uma parábola com concavidade voltada para cima, vamos achar a coordenada do vértice da parábola, pois nele temos o valor mínimo.
A coordenada é dada pela fórmula:
Temos que:
e
Substituindo ficamos com:
Passo 3
Substituindo de volta na fórmula dos segmentos para achar o :
Temos então que os segmentos são e , assim devemos dividir os segmentos no meio, em partes iguais de .
Resposta
Dividir os segmentos no meio, em partes iguais de .