Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.4 - Ex. 23
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.
Passo 1
Então meu amigo, vamos resolver essa atividade de cálculo de área.
Precisamos calcular a área da região que está fora de uma curva e dentro da outra curva. Só analisando a função não é tão legal assim de encontrar com qual desenho a gente está trabalhando, o melhor aqui é a gente plotar o gráfico delas.
Vamos plotar nossas curvas para termos ideia da área que a gente tá calculando. Você pode plotar as curvas com qualquer software gráfico, desmos, Geogebra, fica a sua escolha.
Portanto, queremos a área dessa região sombreada.
A área de uma curva em coordenadas polares é dada por
Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.
Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas, já que queremos a área não da primeira curva nem da segunda curva, mas sim da região delimitada entre a primeira e a segunda.
Passo 2
Então tá, precisamos primeiro do intervalo de integração, que são os dois pontos de encontro das curvas.
Para isso, igualamos as duas curvas:
Ou
Assim, esses são os dois valores de no qual as curvas se intersectam, logo, vai ser o intervalo no qual nossa região de interesse está definida:
Então, o intervalo de integração seria
Maaaas, se você reparar, nossa região sombreada é simétrica!
Logo, podemos dividir ela em duas e calcular a área de até e depois multiplicar por dois pra ter a área total, o que acham?
Isso vai facilitar nossa vida na hora de fazer a integral!!
Passo 3
Continuando, falta a gente descobrir quem é o .
O é a própria parametrização. Mas como queremos descobrir a área entre a primeira e a segunda curva, vê se faz sentido pra vocês que a gente faça a área da curva de fora menos a área da curva de dentro?
Faz né?!
Assim, vamos ter dois , porque vamos ter duas áreas, ou seja, duas integrais, a da curva de fora e a da curva de dentro.
Então agora é só substituir e integrar esse negocio.
Passo 4
Vamos lá:
Elevando ao quadrado ambos os termos:
Retirando as constantes da integral:
Utilizando da identidade trigonométrica :
Agora podemos realizar a integração:
Colocando os intervalos de integração nos cálculos:
Vamos realizar as simplificações necessárias:
Assim, a área total da curva é