Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 31

Use as equações paramétricas de uma elipse

Para calcular a área limitada por essas curvas.

Passo 1

Olá, meu estudioso aluno. Vamos resolver essa atividade de integrais.

A gente tem a curva parametrizada da elipse:

E precisamos encontrar sua área, para isso vamos utilizar a fórmula de área de uma curva.

A área de uma curva é dada por

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular, já que estamos em coordenadas polares, precisamos que nossa integral também esteja, para isso precisamos substituir cada termo.

O nosso novo intervalo de integração vai ser o , que e a variável de integração. Já para encontramos , precisaremos derivar a equação de

Passo 2

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida:

O é a própria parametrização

E o é só pegar a parametrização do e derivar em relação a :

Passo 3

Aí aqui a gente substitui tudo na integral e calcula.

Mas aí que entra o pulo do gato!!!

A gente precisa se ligar que a elipse é uma curva simétrica, então a gente não precisa calcular a integral de até , até porque se fizermos isso, vai dar um ruim no final, a área vai ficar negativa...

E mais ainda, no caso dessa elipse, a gente pode dividir a curva em 4 e calcular a área só de até e depois multiplicar por 4 pra ter a área da elipse inteira.

Observe que quando , então e à medida que aumenta, a curva é desenhada no sentido anti-horário.

Na forma da integral, queremos que vá de a para o quarto superior direito da elipse, mas isso corresponderá a indo de a , que são os limites para a integral quando substituímos e convertemos tudo em theta.