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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.2 - Ex. 33

Calcule a área limitada pela curva

x = 1 + e^t

y = t - t^2

E pelo eixo x .

Passo 1

A área de uma curva é dada por

A = int_a^b y d x

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 2

Para encontrar o intervalo de integração, vamos pensar o seguinte:

Queremos a área entre a curva e o eixo x . Só que o eixo x é justamente onde o y = 0 .

Assim, vamos igualar a componente y da curva a zero e achar valores para t em que isso ocorre.

Esses vão ser os valores do parâmetro que limitam o pedaço da curva que queremos calcular a área, ou seja, vai ser nosso intervalo de integração.

Vamos lá:

y = t - t^2 = 0

t (1 - t) = 0

t = 0

Ou

1 - t = 0

t = 1

Dessa forma,

a = 0

b = 1

Sobre os outros termos da integral, o y é:

y = y (t) - 0 = t - t^2

E o d x é só pegar a parametrização do x e derivar em relação a theta :

x = 1 + e^t

d x = e^t d t

Passo 3

Aí aqui a gente substitui tudo na integral e calcula.

A = int_0^1 t - t^2 ( e^t ) d t

A = int_0^1 t e^t d t - int_0^1 t^2 e^t d t

Fazendo aquela integração por partes braba:

Da segunda integral:

u = t^2 -> d u = 2 t d t

d v = e^t d t -> v = e^t

Assim

A = int_0^1 t e^t d t - (t^2 e^t) [[1],[0]] + int_0^1 2 t e^t d t

A = int_0^1 t e^t d t - (1^2 e^1 - 0^2 e^0) [[1],[0]] + 2 int_0^1 t e^t d t

A = 3 int_0^1 t e^t d t - e

Usando partes de novo:

u = t -> d u = 1 d t

d v = e^t d t -> v = e^t

A = 3 ((t e^t) [[1],[0]] - int_0^1 e^t d t) - e

A = 3 ((1 . e^1 - 0 . e^0) - e^t [[1],[0]]) - e

A = 3 (e - e^1 + e^0) - e

A = 3 - e

Resposta

A = 3 - e

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