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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 12

Use as duas substituições no Exercício 11 para estimar a integral definida

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x t g x d x

E confirme que os resultados são iguais.

Passo 1

Vamos começar quando u = s e c ⁡ ( x ) e d u = sec ⁡ x t g x d x   .A integral pode ser reescrita como:

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x t g x d x = ∫ 0 π 4 sec ⁡ x . sec ⁡ x . t g x d x

Antes de substituir em termos de u , devemos mudar os intervalos de integração em relação a u   também:

Se u = t g x , mudamos os intervalos. Se x = 0 :

u = t g 0 . s e c ⁡ ( 0 ) = 0

Se x = π / 4 :

u = t g π 4 sec ⁡ π 4 = 1

Agora, podemos trocar os termos e intervalos dentro da integral:

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x t g x d x = ∫ 0 1 u d u

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x t g x d x = 1 2 u 2 0 1 = 1 2

Passo 2

Vamos começar quando u = t g ⁡ ( x ) e d u = sec 2 ⁡ ( x ) d x   .

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x t g x d x

Antes de substituir em termos de u , devemos mudar os intervalos de integração em relação a u   também:

Se u = t g x , mudamos os intervalos. Se x = 0 :

u = t g 0 = 0

Se x = π / 4 :

u = t g π 4 = 1

Agora, podemos trocar os termos e intervalos dentro da integral:

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x t g x d x = ∫ 0 1 u d u

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x t g x d x = 1 2 u 2 0 1 = 1 2

Resposta

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x t g x d x = 1 2

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