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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 11

  1. Mostre que as substituições u = s e c ⁡ ( x ) e u = t g ( x ) produzem valores diferentes para a integral:

    2. ∫ sec 2 ⁡ x t g x d x

  2. Explique por que ambos estão corretos.

Passo 1

  1. Mostre que as substituições u = s e c ⁡ ( x ) e u = t g ( x ) produzem valores diferentes para a integral:

    2. ∫ sec 2 ⁡ x t g x d x

    Vamos começar a tratar a função quando u = sec ⁡ x .

    d u = s e c ⁡ ( x ) . t g ( x ) d x

    A integral pode ser reescrita como:

    ∫ sec 2 ⁡ x t g x d x = ∫ sec ⁡ x . sec ⁡ x t g x d x

    Substituindo em termos de u , temos:

    ∫ sec 2 ⁡ x t g x d x = ∫ u d u

    ∫ sec 2 ⁡ x t g x d x = u 2 2 + C

    Substituindo u = s e c ( x ) :

    ∫ sec 2 ⁡ x t g x d x = s e c 2 ( x ) 2 + C

    Passo 2

    Agora, quando devemos tratar a função quando u = t g ( x ) .

    d u = sec 2 ⁡ ( x ) d x

    A integral pode ser reescrita como:

    ∫ sec 2 ⁡ x t g x d x = ∫ t g x . sec 2 ⁡ ( x ) d x

    Substituindo em termos de u , temos:

    ∫ sec 2 ⁡ x t g x d x = ∫ u d u

    ∫ sec 2 ⁡ x t g x d x = u 2 2 + C

    Substituindo u = t g ( x ) :

    ∫ sec 2 ⁡ x t g x d x = t g 2 ( x ) 2 + C

    Passo 3

  2. Uma solução pode ser expressa como outra. Portanto, ambas as soluções estão corretas.

Resposta

Obtemos duas respostas possíveis:

∫ sec 2 ⁡ x t g x d x = t g 2 ( x ) 2 + C

∫ sec 2 ⁡ x t g x d x = s e c 2 ( x ) 2 + C

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