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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 142

A área da superfície lateral S de um cone circular reto está relacionada com o raio da base r e a altura h pela equação S = π r r 2 + h 2

a ) Como d S / d t está relacionada com d r / d t se h é constante?

b ) Como d S / d t está relacionada com d h / d t se r é constante?

c ) Como d S / d t está relacionada com d r / d t e d h / d t se nem r nem h são constantes?

d ) Como d r / d t está relacionada com d r / d t se h é constante?

Passo 1

Para resolver qualquer uma dessas letras, a primeira coisa que temos que fazer é derivar implicitamente a equação da superfície. A derivada implícita vai ser aquela que quando derivarmos algo que não seja t , devemo colocar a derivada junto. Por que r , h , S , a princípio, são funções do tempo.

A equação que relaciona todas elas é:

S = π r r 2 + h 2

Para facilitar nossas contas, vamos elevar todos ao quadrado:

S 2 = π 2 r 2 r 2 + h 2

S 2 = π 2 r 4 + π 2 h 2 r 2

A derivada do lado esquerdo vai ser:

S 2 ' = 2 S S '

Passo 2

Vamos derivar o lado direito agora:

π 2 r 4 + π 2 h 2 r 2 ' = π 2 r 4 ' + π 2 h 2 r 2 '

π 2 r 4 + π 2 h 2 r 2 ' = 4 π 2 r 3 r ' + π 2 h 2 r 2 '

Para o segundo termo, vamos usar a regra da cadeia:

π 2 r 4 + π 2 h 2 r 2 ' = 4 π 2 r 3 r ' + π 2 h 2 ' r 2 + π 2 h 2 r 2 '

π 2 r 4 + π 2 h 2 r 2 ' = 4 π 2 r 3 r ' + 2 π 2 h r 2 h ' + 2 π 2 h 2 r r '

Vamos ter no final:

2 S S ' = 4 π 2 r 3 r ' + 2 π 2 h r 2 h ' + 2 π 2 h 2 r r '

Vamos tirar aquele S porque ele deu a função em S , só fizemos aquele macete para ficar mais fácil de derivar. Assim, usando:

S = π r r 2 + h 2

Vamos ter:

2 π r r 2 + h 2 S ' = 4 π 2 r 3 r ' + 2 π 2 h r 2 h ' + 2 π 2 h 2 r r '

Simplificando 2 π r de toda a expressão

r 2 + h 2 S ' = 2 π r 2 r ' + π h r h ' + π h 2 r '

Passando aquela raiz dividindo:

S ' = 2 π r 2 r ' + π h r h ' + π h 2 r ' r 2 + h 2

Ele está usando uma nomenclatura diferente, vamos escrever dessa forma. Para isso, vamos ver que:

S ' = d S d t

r ' = d r d t

h ' = d h d t

Nossa equação fica:

d S d t = 2 π r 2 d r d t + π h r d h d t + π h 2 d r d t r 2 + h 2

Vamos para as alternativas

Passo 3

Partindo de:

d S d t = 2 π r 2 d r d t + π h r d h d t + π h 2 d r d t r 2 + h 2

Se h é constante, sua derivada é 0 . Fazendo:

d h d t = 0

Vamos ter:

d S d t = 2 π r 2 d r d t + π h 2 d r d t r 2 + h 2

d S d t = 2 π r 2 + π h 2 r 2 + h 2 d r d t

Que é a relação que ele pediu.

Passo 4

Partindo de:

d S d t = 2 π r 2 d r d t + π h r d h d t + π h 2 d r d t r 2 + h 2

Se r é constante, sua derivada é 0 . Fazendo:

d r d t = 0

Vamos ter:

d S d t = π h r r 2 + h 2 d h d t

Que é a relação que ele pediu.

Passo 5

Partindo de:

d S d t = 2 π r 2 d r d t + π h 2 d r d t r 2 + h 2

Se não temos constantes, então a expressão já é essa mesma.

Passo 6

Partindo de:

d S d t = 2 π r 2 d r d t + π h 2 d r d t r 2 + h 2

Se S é constante, sua derivada é 0 . Fazendo:

d S d t = 0

Vamos ter:

0 = 2 π r 2 d r d t + π h 2 d r d t r 2 + h 2

0 = 2 π r 2 d r d t + π h 2 d r d t

Que é a relação que ele pediu.

Resposta

Letra a

d S d t = 2 π r 2 + π h 2 r 2 + h 2 d r d t

Letra b

d S d t = π h r r 2 + h 2 d h d t

Letra c

d S d t = 2 π r 2 d r d t + π h 2 d r d t r 2 + h 2

Letra d

0 = 2 π r 2 d r d t + π h 2 d r d t

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