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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 22

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

∫ 0 1 y 3 + 6 y 2 - 12 y + 9 - 1 / 2 y 2 + 4 y - 4 d y

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é uma mudança de variável:

u = y 3 + 6 y 2 - 12 y + 9

Derivando dos dois lados:

d u = 3 y 2 + 12 y - 12 d y

Colocando em evidência:

d u = 3 y 2 + 4 y - 4 d y

d u 3 = y 2 + 4 y - 4 d y

Além disso, vamos transformar os limites superior e inferior da integral para a nova variável:

y = 0 → u = 0 3 + 6 ∙ 0 2 - 12 ∙ 0 + 9 = 9

y = 1 → u = 1 3 + 6 ∙ 1 2 - 12 ∙ 1 + 9 = 4

Passo 2

Colocando na integral,

∫ 0 1 y 3 + 6 y 2 - 12 y + 9 - 1 / 2 y 2 + 4 y - 4 d y = ∫ 9 4 u - 1 2 d u 3

Calculando a integral:

1 3 ∫ 9 4 u - 1 2 d u = 1 3 u 1 / 2 1 / 2 9 4 = 1 3 2 u 9 4

1 3 ∫ 9 4 u - 1 2 d u = 1 3 2 4 - 2 9 = 4 - 6 3 = - 2 3

Prontinho!!!

Resposta

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