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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 6

Numa pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui a t anos a população será de p t = 20 - 5 t + 1 milhares.

  1. Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade?
  2. Qual será a variação real sofrida durante o 18 º mês?

Passo 1

Pessoal, mais uma questão de taxa de variação! Na letra (a) queremos saber qual será a taxa de variação da população depois de 18 meses. Sempre que for assim, o que a questão pede na verdade é a derivada com o tempo! A primeira coisa que precisamos fazer então é derivar a equação que expressa a população!

p t = 20 - 5 t + 1

Derivando:

p ' t = d p t d t

p ' t = d 20 - 5 t + 1 d t

p ' t = d 20 d t - d 5 t + 1 d t

p ' t = 0 - - 5 t + 1 2

p ' t = 5 t + 1 2

Mas olha, o enunciado pede depois de 18 meses, mas como ele mesmo define p t com o tempo em anos, p ' t também precisa receber um t em anos. Sendo:

t = 18   m e s e s = 18 12 a n o s = 3 2 a n o s

Calculamos a taxa de variação populacional da seguinte forma:

p ' 3 2 = 5 3 2 + 1 2 = 5 3 2 + 2 2 2 = 5 5 2 2 = 5 5 2 2 2

p ' 3 2 = 5 ⋅ 2 2 5 2 = 4 5 = 0,8

A taxa de variação vai ser então:

p ' 3 2 = 0,8   m i l h a r e s   d e   p e s s o a s / a n o

Passo 2

Na letra (b) queremos saber qual será a variação real sofrida durante o 18 º mês. Para isso, precisamos calcular a diferença populacional entre o mês 18   e o mês 17 . Isso porque aqui não queremos taxa nenhuma de variação e sim saber em termos absolutos o quanto que a população aumentou ou diminuiu ao chegar no 18 o mês! Seja:

t i n i c i a l = 17   m e s e s = 17 12 a n o s

t f i n a l = 18   m e s e s = 3 2 a n o s

A variação absoluta será de:

∆ p = p t f i n a l - p t i n i c i a l

∆ p = p 3 2 - p 17 12

∆ p = 20 - 5 3 2 + 1 - 20 - 5 17 12 + 1

∆ p = 20 - 5 3 2 + 1 - 20 + 5 17 12 + 1

∆ p = - 5 3 2 + 2 2 + 5 17 12 + 12 12

∆ p = - 5 5 2 + 5 29 12 = - 5 ∙ 2 5 + 5 ∙ 12 29 = - 1 ∙ 2 1 + 5 ∙ 12 29

∆ p = - 29 ∙ 2 29 + 5 ∙ 12 29 = 5 ∙ 12 - 29 ∙ 2 29

∆ p = 60 - 58 29 = 2 29 ≅ 0,069

Portanto do 17 o pro 18 o mês houve um aumento de aproximadamente 0,069 milhares de pessoas

Resposta

  1. p ' 3 2 = 0,8   m i l h a r e s   d e   p e s s o a s / a n o ;
  2. A real variação sofrida durante o 18 º mês é 0,06 9   m i l h a r e s   d e   p e s s o a s .
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