Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 34
Um aspersor distribuí água em um círculo de raio de 100 pés. Ele fornece água até uma profundidade pés por hora em uma distância de pés do aspersor.
- Qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro de um círculo de raio centrado no aspersor?
- Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora e por pés quadrados fornecida para uma região circular de raio .
Passo 1
Olá, tudo bem? Vamos analisar o que a questão quer
Ele diz que um aspersor (aspersor é aquilo que se usa em plantações para irrigar) joga água em um círculo de raio de 100 pés e essa água penetra uma profundidade de pés por hora em uma distância de pés do aspersor.
Ou seja, quanto mais longe do aspersor, menor será a profundidade que a água alcança.
Letra a)
Ela quer que determinamos a quantidade total que o aspersor fornece por hora para a região dentro de um círculo de raio R com centro no aspersor.
Letra b)
Ela quer que a gente encontre uma expressão para a quantidade média de água por hora e por pés quadrados fornecida para uma região circular de raio .
Lembrando que para calcular o volume de algum sólido com integral dupla usamos a seguinte fórmula
Sendo a altura do sólido, que nesse caso é a profundidade!
Então, vamos esboçar a região, montar a integral e como estamos falando de círculo, vamos utilizar coordenadas polares! depois resolveremos a integral para a letra a) e por fim, acharemos o que se pede na letra b).
Bora lá?
Passo 2
Vamos esboçar a região da água para ficar melhor de visualizar. Ela ficaria assim
Sendo o eixo onde o nosso aspersor está localizado! E como a profundidade decai com , quanto mais longe do centro, menos água chegará, sendo o centro, onde sempre chegando água na profundidade máxima.
Ok?
Passo 3
Agora, vamos montar a integral, sabendo que
Temos que a função
É a nossa profundidade, logo
Ficamos então, com
Bem, como estamos falando de círculo, nada melhor que usar coordenadas polares. E em coordenadas polares
Assim
Passo 4
Agora, vamos resolver a letra a).
Temos que achar esses limites de integração. Como estamos usando integral dupla, é a área planificada da região, que é o círculo!
E todo círculo completo varia o seu assim
Sabemos que o raio do círculo é pés, mas na letra a), ele quer até , logo
Substituindo tudo na integral
Podemos separar essas integrais com suas respectivas variáveis.
Resolvendo a integral
Fazendo integral por partes
Chamando e , temos que
Substituindo na integral
Resolvendo a outra integral
Aplicando os limites
Agora calculando
Temos simplesmente
Portanto,
Prontinho, essa é a quantidade total de água fornecida por hora, letra a)!
Passo 5
Agora na letra b), queremos a quantidade média de água por hora e por pés quadrados fornecida para uma região circular de raio .
Bem já temos a quantidade média de água por hora, queremos adicionar um por pés quadrado da região circular.
O que nos daria pés ao quadrado? Isso não te lembra uma área? Justamente isso!
Vamos dividir pela área do círculo, aí teremos a quantidade média de água por hora e por pés quadrados do círculo.
Assim, temos que a área do círculo é
Dividindo
Pronto!