Enunciado

Associe os campos vetoriais F → com os gráficos rotulados I-IV. Dê razões para suas escolhas.

F → x , y = y i → + ( x - y ) j →

Passo 1

E aiiiii galerinha, tudo na paz?

Precisamos associar o campo F → com algum dos gráficos de I-IV, e justificar a escolha.

F → x , y = y i → + ( x - y ) j →

Para resolver o problema vamos montar uma tabela com alguns valores e ver como o campo se comporta em alguns pontos específicos.

Faça com os seguintes pontos:

1,0 , 0,1 , - 1,0 , ( 0 , - 1 )

1,1 , - 1 , - 1 , - 1,1 , 1 , - 1

Avalie também, como o vetor se comporta com pontos iguais. Por exemplo:

Primeiro quadrante: (1,1), (2,2), (3,3)

Terceiro quadrante: (-1,-1), (-2,2), (-3,3)

Devemos também fazer uma interpretação da norma do campo para descobrirmos como se comporta o tamanho do vetor para os valores.

F → x , y = y 2 + x - y 2

Vamos nessa!!

Passo 2

Vamos começar montando uma pequena tabela e escolher os seguintes pontos aleatoriamente:

1,0 , 0,1 , - 1,0 , ( 0 , - 1 )

1,1 , - 1 , - 1 , - 1,1 , 1 , - 1

Agora vamos aplicar cada ponto em F → :

F → x , y = y i → + ( x - y ) j →

Respectivamente, para cada ponto, temos que nosso campo vetorial se comporta da seguinte forma:

1,0 , 0,1 , - 1,0 , ( 0 , - 1 )

F → 1,0 = j →

F → - 1,0 = - j →

F → 0,1 = i → - j →

F → 0 , - 1 = - i → + j →

Note o seguinte:

O campo tem um comportamento de afastamento da origem no primeiro e terceiro quadrante.

Para os pontos:

1,1 , - 1 , - 1 , - 1,1 , 1 , - 1

Temos:

F → 1,1 = i →

F → - 1 , - 1 = - i →

F → - 1,1 = i → - 2 j

F → 1 , - 1 = - i → + 2 j

Note agora que no segundo e quarto quadrante os vetores se aproximam da origem.

Passo 3

Vamos observar o comportamento do campo elétrico para as seguintes situações.

Primeiro quadrante: (1,1), (2,2), (3,3)

Terceiro quadrante: (-1,-1), (-2,2), (-3,3)

Vamos aplicar em F :

F → x , y = x i → + ( x - y ) j →

Primeiro quadrante:

F → 1,1 = i →

F → 2,2 = 2 i →

F → 3,3 = 3 i →

Terceiro quadrante:

F → - 1 , - 1 = - i →

F → - 2 , - 2 = - 2 i →

F → - 3 , - 3 = - 3 i →

Observe que para pontos positivos iguais primeiro quadrante, os vetores estarão sempre apontando para direita, enquanto que para o terceiro quadrante os vetores estarão apontando para a esquerda.

Passo 4

Por fim, vamos analisar a norma do campo:

F → x , y = y 2 + x - y 2

Vemos então que quanto menor os valores para x e y , menor será o tamanho do vetor, ou seja, quanto mais próximo da origem menor o tamanho dos vetores.

Com todas essas informações, e analisado os gráficos:

Chegamos à conclusão então que o gráfico que mais se identifica com nosso campo é o gráfico I I I .

Resposta

Gráfico I I I

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As linhas de escoamento (ou linhas de corrente) de um campo vetorial são as trajetórias seguidas por uma partícula cujo campo de velocidade é um campo vetorial dado. Assim, os vetores do campo vetoria
Uma partícula se move em um campo de velocidade V x , y = x 2 ,y + y 2 . Se ela está na posição 2 ,1 no instante t = 3 , estime sua posição no instante t = 3,01 .
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