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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 19

Assumindo que as equações nos Exercícios 15-20 definem x e y implicitamente como funções deriváveis x = f ( t ) ,   y = g ( t ) , encontre o coeficiente angular da curva x = f ( t ) ,   y = g ( t ) no valor determinado de t .

19. x = t 3 + t , y + 2 t 3 = 2 x + t 2 ,   t = 1

Passo 1

E aí, galerinha! Essa questão parece um pouco complicada mas vocês vão ver que dá pra sair.

O enunciado pede o coeficiente angular da curva mas, para isso, precisamos de derivadas de x e y em relação a t e não temos uma expressão explícita para y em termos de t , só x . Tá, vamos substituir x na expressão para y :

y + 2 t 3 = 2 x + t 2

⇒ y + 2 t 3 = 2 ( t 3 + t ) + t 2

⇒ y + 2 t 3 = 2 t 3 + 2 t + t 2

⇒ y = 2 t + t 2

Prontinho, conseguimos a expressão para o y . Agora podemos prosseguir.

Passo 2

Agora que temos as expressões para x = f ( t ) ,   y = g ( t ) , podemos calcular as derivadas em relação a t :

d x d t = d d t t 3 + t = 3 t 2 + 1

d y d t = d d t 2 t + t 2 = 2 + 2 t

Tudo tranquilo até agora? Então, vamos continuar.

Passo 3

Com as derivadas necessárias, agora é só substituir

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t = 2   +   2 t 3 t 2 +   1

Quando t = 1 , esse coeficiente se torna

y ' | t = 1 = 2   +   2 t 3 t 2   +   1 | t   =   1 =   2   +   2 3   +   1 = 1

Esse é o resultado, pessoal. Até a próxima!

Resposta

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