Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.4 - Ex. 28
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.
Passo 1
Vamos plotar nossas curvas para termos ideia da área que a gente tá calculando. A gente vai utilizar o GeoGebra para plotar essas curvas e assim termos uma melhor visão do que está acontecendo.
Portanto, queremos a área dessa região com bolinhas.
A área de uma curva em coordenadas polares é dada por
Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular. Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas, já que queremos a área não da primeira curva nem da segunda curva, mas sim da região delimitada entre a primeira e a segunda.
Passo 2
Vamos então encontrar os intervalos de integração.
igualamos as duas curvas:
Ou
Assim, esses são os dois valores de no qual as curvas se intersectam, logo, vai ser o intervalo no qual nossa região de interesse está definida:
Então, o intervalo de integração seria
Maaaas, se você reparar, nossa região sombreada é simétrica!
Logo, podemos dividir ela em duas e calcular a área de até e depois multiplicar por dois pra ter a área total, o que acham?
Isso vai facilitar nossa vida na hora de fazer a integral!!
Passo 3
Continuando, falta a gente descobrir quem é o .
O é a própria parametrização. Mas como queremos descobrir a área entre a primeira e a segunda curva, vê se faz sentido pra vocês que a gente faça a área da curva de fora menos a área da curva de dentro?
Faz né?!
Assim, vamos ter dois , porque vamos ter duas áreas, ou seja, duas integrais, a da curva de fora e a da curva de dentro.
Então agora é só substituir e integrar esse negócio.
Passo 4
Vamos lá:
Como aqui a gente tá com duas integrais grandes, vamos juntar elas pra ver se corta alguma coisa e facilita a nossa vida:
Realizando as simplificações:
Vamos utilizar a identidade trigonométrica
Realizando as simplificações:
Passo 5
Agora a gente pode integrar:
Aplicando os limites de integração:
A gente tem então que:
Assim, a área total da curva é