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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 3

Nos Exercícios 1-14, encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado de t. Encontre também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto.

3. x = 4   s e n   t ,   y = 2   c o s   t ,   t = π / 4

Passo 1

Fala, pessoal! Bora lá para mais uma questão?

Nessa questão, temos que calcular a reta tangente à curva, no ponto dado e também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto. A primeira coisa a fazer é identificar o ponto, depois calcular o coeficiente angular da reta usando a fórmula

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t

e calcular d 2 y / d x 2 usando a fórmula

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t .

Acompanha aí os próximos passos.

Passo 2

Em t = π / 4 , nós temos o ponto

x = 4   s e n   t = 4   s e n   π 4 = 4 2 2 = 2 2

e

y = 2 c o s t = 2 c o s   π 4 = 2 2 2 = 2

Ou seja, queremos calcular tudo no ponto ( x , y ) = ( 2 2 , 2 ) .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas que são necessárias:

d x d t = 4 c o s   t

d y d t = - 2   s e n   t

Assim, conseguimos o coeficiente angular da curva

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t = - 2   s e n   t 4   c o s   t = - 1 2 t a n t

Antes de calcular a reta tangente, vamos usar y ' para calcular

d y ' d t = - 1 2 s e c 2 t

Agora, podemos obter

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t = - 1 2 s e c 2 t 4   c o s   t = - 1 8   c o s 3   t

No ponto t = π / 4 , nós temos

d 2 y d x 2 = - 1 8   c o s 3   t | t = π / 4 = - 2 4

Passo 4

Para fechar com chave de ouro, vamos calcular a reta tangente à curva no ponto ( 2 2 , 2 ) , lembrando que o coeficiente angular é - 1 2 t a n t | t = π / 4 = - 1 2 :

y - 2 = - 1 2 ⋅ ( x - 2 2 )

⇒ y - 2 = 2 - 1 2 x

⇒ y = 2 2 - 1 2 x

Nos vemos na próxima!

Resposta

y = 2 2 - 1 2 x

d 2 y d x 2 = - 2 4

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