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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 16

Assumindo que as equações nos Exercícios 15-20 definem x e y implicitamente como funções deriváveis x = f ( t ) ,   y = g ( t ) , encontre o coeficiente angular da curva x = f ( t ) ,   y = g ( t ) no valor determinado de t .

16. x = 5 - t , y ( t - 1 ) = t ,   t = 4

Passo 1

Fala, galerinha!

Essa questão é um pouquinho complicada, mas confia que a gente vai resolver. Nós precisamos calcular o coeficiente angular da curva e mas não temos uma expressão explícita para y em termos de t . Então, vamos começar tentando resolver isso

y ( t - 1 ) = t

⇒ y = t ( t - 1 )

Agora, podemos continuar.

Passo 2

Já que temos as expressões para x = f ( t ) ,   y = g ( t ) , podemos calcular as derivadas em relação a t :

d x d t = d d t 5 - t = 1 2 1 5 - t d d t - t =   - 1 4 1 ( 5 - t ) t

d y d t = d d t t ( t - 1 ) = ( t - 1 ) / 2 t   -   t   ⋅   1 ( t - 1 ) 2 = ( t   -   1 )   -   2 t   ⋅   t 2 ( t - 1 ) 2 t = - 1 2 ( t     +   1 ) ( t   -   1 ) 2 t

Passo 3

Agora que já calculamos as derivadas necessárias, agora é só substituir no coeficiente angular

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t = -   1 2   ( t     +   1 ) ( t   -   1 ) 2 t -   1 4   1 ( 5 - t ) t

⇒ y ' = 2 ( t     +   1 ) ( t   -   1 ) 2 t ⋅ ( 5 - t ) t     1 = 2 ( t     +   1 ) ( 5 - t ) ( t   -   1 ) 2

Agora é só aplicar   t = 4 ao coeficiente angular

y ' | t = 4 = 2 ( t     +   1 ) ( 5 - t ) ( t   -   1 ) 2 | t = 4 =   2 ( 4     +   1 ) ( 5   -   4 ) ( 4   -   1 ) 2

⇒ y ' | t = 4 = 2 5 1 3 2 = 10 9

⇒ y ' | t = 4 = 10 9

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Resposta

10 9

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