Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

26. r = 1 + c + o + s + theta , r = 2 - cos(theta)

Passo 1

A figura abaixo mostra o gráfico das duas regiões:

Precisamos encontrar a área da região que está dentro da curva vermelha e fora da curva azul, os pontos onde elas se intersecionam serão os limites de integração da equação da área:

A = ∫ a b 1 2 f θ 2 - g θ 2 d θ

Para encontrarmos esses pontos, vamos igualar as equações das duas curvas:

1 + c o s θ = 2 - c o s θ

c o s θ = 1 2

θ = ± π 3

Como a região é simétrica em relação a ao eixo x, podemos integrar no intervalo 0 ≤ θ ≤ π 3 e multiplicar a integral por dois. A equação da área então fica:

A = ∫ 0 π 3 1 2 1 + c o s θ 2 - 2 - c o s θ 2 d θ

Onde f θ = 1 + c o s θ e g θ = 2 - c o s θ .

Passo 2

Primeiro vamos resolver a integral indefinida, e ao final substituímos os limites:

∫ 1 2 1 + c o s θ 2 - 2 - c o s θ 2 d θ

Expandindo os polinômios:

∫ 1 2 1 + 2 c o s θ + c o s 2 θ - 4 + 4 c o s θ - c o s 2 θ d θ

Somando os termos:

∫ 1 2 - 3 + 6 c o s θ d θ

Integrando:

- 3 θ 2 + 3 s e n θ + c

Passo 3

Substituindo os limites:

A = - 3 π 6 2 + 3 s e n π 6 - - 3 0 2 + 3 s e n 0

A = 6 - π 4

Resposta

A = 6 - π 4

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