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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.2 - Ex. 16

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 11-16 para r como uma função vetorial de t.

Equação diferencial: d 2 r d t 2 = - i + j + k

Condição inicial: r 0 = 10 i + 10 j + 10 k e d r d t ​ t = 0 = 0  

Passo 1

Fala minha galera querida!! Precisamos descobrir quem é esse r, para isso vamos rearranjar a equação diferencial dada e usar da condição inicial para resolver o problema, vem comigo.

d 2 r d t 2 = - i + j + k

d r d t ⋅ d r d t = - i + j + k

Agora temos uma derivação de segundo grau, portanto nossa integral terá duas constantes.

Vamos passar dt para o outro lado:

d r d t d r = - i + j + k   d t

E agora integramos dos dois lados:

∫ d r d t d r = ∫ - i + j + k     d t

Resolvendo com adição de uma constante C 1 da integral indefinida.

d r d t = - t i + t j + t k + C 1

E a nossa outra constante está na condição inicial:

d r d t 0 = 0

- 0 i + 0 j + 0 k + C 1 = 0

C 1 = 0

Passo 2

Vamos descobrir agora a outra constante.

A partir do passo anterior temos:

d r d t = - t i + t j + t k + C 1

d r d t = - t i + t j + t k

Vamos passar dt para o outro lado e integrar

∫ d r = ∫ - t i + t j + t k d t

r = - t 2 2 i + t 2 2 k + t 2 2 k + C 2

Passo 3

Da condição inicial, sabemos que r 0 = 10 i + 10 j + 10 k , então bora substituir para encontrar C 2 .

r t = - t 2 2 i + t 2 2 k + t 2 2 k + C 2

10 i + 10 j + 10 k = - 0 2 2 i + 0 2 2 k + 0 2 2 k + C 2

C 2 = 10 i + 10 j + 10 k

Agora sim podemos encontrar a equação r ( t ) :

r t = - t 2 2 i + t 2 2 k + t 2 2 k + C 2

r t = - t 2 2 i + t 2 2 k + t 2 2 k + 10 i + 10 j + 10 k

r t = 10 - t 2 2 i + 10 - t 2 2 j + 10 - t 2 2 k

E aí está a função vetorial! Bora pro próximo!

Resposta

r t = 10 - t 2 2 i + 10 - t 2 2 j + 10 - t 2 2 k

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