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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.3 - Ex. 25

Avalie a integral.

int (d x)/(sqrt(9 x^2 + 6 x - 8))

Passo 1

Para a resolução de uma integral pela substituição trigonométrica, precisamos fazer a escolha da substituição. Sendo u = 3 sec theta , onde 0 <= theta <= (pi)/(2) ou pi <= theta <= (3 pi)/(2) . Logo, derivando temos d x = 3 sec theta tan theta d theta .

Para 9 x^2 + 6 x - 8 , temos que usar o método de completar os quadrados.

9 x^2 + 6 x - 8 = (3 x + 1)^2 - 9

Então, u = 3 x + 1 e d u = 3 d x . Logo,

int ((1)/(3) d u)/(sqrt(u^2 - 9))

Assim podemos aplicar as substituições trigonométricas!!

(1)/(3) int (sec theta tan theta d theta)/(sqrt(( 3 sec theta )^2 - 9)) = (1)/(3) int (sec theta tan theta d theta)/(3 tan theta) = (1)/(3) int sec theta d theta

Essa integral tem como resultado:

(1)/(3) int sec theta d theta = (1)/(3) ln | sec theta + tan theta | + C = (1)/(3) ln | (u + sqrt(u^2 - 9))/(3) | + C

Logo,

int ((1)/(3) d u)/(sqrt(u^2 - 9)) = ln | u + sqrt(u^2 - 9) | + C

int (d x)/(sqrt(9 x^2 + 6 x - 8)) = ln | 3 x + 1 + sqrt(9 x^2 + 6 x - 8) | + C

Prontinho!!

Resposta

int (d x)/(sqrt(9 x^2 + 6 x - 8)) = ln | 3 x + 1 + sqrt(9 x^2 + 6 x - 8) | + C

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