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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 59

Avalie a integral.

int (1)/(e^(3 x) - e^x) d x

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha. Mas qual método usaremos? Então temos uma divisão, por isso não podemos aplicar uma “integral pronta”, então fazemos substituições!!

Para o valor de u , vamos ter

u = e^x

Se quisermos o valor de x , teremos x = ln u e a derivada disso é d x = (d u)/(u) . Substituimos os valores:

int (1)/(e^(3 x) - e^x) d x = int (1)/(u^3 - u) ((d u)/(u))

Agora simplificamos a equação:

int (1)/(u^3 - u) ((d u)/(u)) = - int (d u)/((u - 1) u^2 (u + 1)) = int (1)/(2 (u - 1)) - (1)/(u^2) - (1)/(2 (u + 1)) d u

Já dá pra gente resolver, é só calcular na integral!

Passo 2

Resolvendo...

int (1)/(2 (u - 1)) - (1)/(u^2) - (1)/(2 (u + 1)) d u = (1)/(u) + (1)/(2) ln |(u - 1)/(u + 1)| + C

Portanto, substituindo o valor de u :

int (1)/(e^(3 x) - e^x) d x = (1)/(e^x) + (1)/(2) ln |(e^x - 1)/(e^x + 1)| + C

Prontinho!!

Resposta

int (1)/(e^(3 x) - e^x) d x = (1)/(e^x) + (1)/(2) ln |(e^x - 1)/(e^x + 1)| + C

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