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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 67

Avalie a integral.

int_1^3 (tan^(- 1) sqrt(t))/(sqrt(t)) d t

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha. Mas qual método usaremos? Então temos uma divisão, por isso não podemos aplicar uma “integral pronta”, então fazemos substituições!!

Para o valor de u , vamos ter

u = sqrt(t)

E a derivada disso é d u = (d t)/(2 sqrt(t)) . Substituimos os valores:

int_1^3 (tan^(- 1) sqrt(t))/(sqrt(t)) d t = int_1^(sqrt(3)) tan^(- 1) u 2 d u

Já dá pra gente resolver, é só calcular na integral!

Passo 2

Resolvendo...

int_1^(sqrt(3)) tan^(- 1) u 2 d u = 2 [u tan^(- 1) u - (1)/(2) ln (1 + u^2)]_1^(sqrt(3))

= 2 [sqrt(3) tan^(- 1) sqrt(3) - (1)/(2) ln (1 + (sqrt(3))^2) - (tan^(- 1) 1 - (1)/(2) ln (1 + 1^2))]

= 2 [sqrt(3) xx (pi)/(3) - (1)/(2) ln 2 - ((pi)/(4) - (1)/(2) ln 2)]

Portanto,

int_1^3 (tan^(- 1) sqrt(t))/(sqrt(t)) d t = 2 sqrt(3) xx (pi)/(3) - (1)/(2) pi - ln 2

Prontinho!!

Resposta

int_1^3 (tan^(- 1) sqrt(t))/(sqrt(t)) d t = 2 sqrt(3) xx (pi)/(3) - (1)/(2) pi - ln 2

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