23. int sqrt(3 t^4 + t^2) d t

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral abaixo, usando método da substituição:

int sqrt(3 t^4 + t^2) d t

Para prosseguir no cálculo, precisamos arrumar a integral, para que seja possível sua resolução.

= int sqrt(t^2 ( 3 t^2 + 1 )) d t = int t (3 t^2 + 1)^((1)/(2)) d t

Fazendo – se

u = 3 t^2 + 1

d u = 6 t d t ⟶ (d u)/(6) = t d t

Teremos:

= (1)/(6) int u^((1)/(2)) d u

= (1)/(6) (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) + c

= (1)/(6) * (2)/(3) (3 t^2 + 1)^((3)/(2)) + c

Logo:

(1)/(9) (3 t^2 + 1)^((3)/(2)) + c

Resposta

(1)/(9) (3 t^2 + 1)^((3)/(2)) + c

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