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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 64

Use a integração por partes para estabelecer a fórmula de redução:

64 - ∫ ( ln ⁡ x ) n d x = x ( ln ⁡ x ) n - n ∫ ln ⁡ x n - 1

Passo 1

Temos a Integral de funções ∫ f x g x d x , dado f x = ln ⁡ x n e g x = 1

Primeiramente vamos descobrir as partes u d u e v d v .

Sendo: u d u para f(x) e v d v para g(x).

u = f x   :     u = ln ⁡ x n

d u = f ' x   d x

d u = d d x ln ⁡ x n para resolver esta derivada será utilizada a regra da cadeira, onde: f x ’ = f ’ x ⋅ x , onde x   =   l n   ( w ) , onde w é uma variável substituta de x para essa demonstração, resolvendo temos:

d d x x n ⋅ d d x ( ln ⁡ w ) = n x n - 1 ⋅ 1 v = n ln ⁡ w n - 1 ⋅ 1 w = n ln ⁡ w n - 1 w   :   d u =   n ln ⁡ x n - 1 x     d x  

d v = g x   d x   :   d v = 1   d x

v = ∫ g x d x =   ∫ 1 d x = x

Passo 2

Agora inserimos nossa equação na forma: ∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

u v = u ⋅ v = ln ⁡ x n ⋅ x = x ln ⁡ x n

∫ ln ⁡ x n   d x = x ln ⁡ x n - ∫ x n ln ⁡ x n - 1 x d x

Dado que a função está multiplicando e dividindo por x, simplificaremos os termos, observe:

∫ ln ⁡ x n   d x = x ln ⁡ x n - ∫ n ln ⁡ x n - 1 d x

Passo 3

Agora passaremos o n que é uma constante multiplicativa para fora da integral e teremos:

∫ ln ⁡ x n   d x = x ln ⁡ x n - n ∫ ln ⁡ x n - 1   d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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