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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 1a

Calcule

int sqrt(1 - 4 x^2) d x

Passo 1

A função dentro da integral é:

f (x) = sqrt(1 - 4 x^2)

Não parece muito familiar?

Na verdade a resolução pra esse tipo de função é chamada substituição trigonométrica e funciona assim:

A gente pega um triângulo retângulo com ângulo theta como esse:

Agora imagine que a hipotenusa vale 1, e um dos catetos vale 2 x , concorda comigo que o outro vai valer sqrt(1 - 4 x^2) ?

Então que substituição poderíamos fazer?

Bem, se dissermos que (sqrt(1 - 4 x^2))/(1) = cos theta então (2 x)/(1) = sin theta -> 2 d x = cos theta d theta

Assim podemos substituir a integral dessa forma:

int sqrt(1 - 4 x^2) d x = (1)/(2) int cos theta xx c o s theta d theta = (1)/(2) int cos^2 theta d theta

Ótimo! Agora podemos calcular essa integral de maneira mais fácil

Passo 2

Sabemos que cos^2 theta = (1)/(2) (1 + cos 2 theta) , então:

(1)/(2) int cos^2 theta d theta = (1)/(2) int (1)/(2) (1 + cos 2 theta) d theta = (1)/(4) int (1 + cos 2 theta) d theta

Se dissermos que u = 2 theta -> d u = 2 d theta , assim:

(1)/(4) int (1 + cos 2 theta) d theta = (1)/(8) int (1 + cos u) d u

Agora sabemos resolver:

(1)/(8) int (1 + cos u) d u = (1)/(8) (u + sin u)

Voltando pra variável theta :

(1)/(8) (u + sin u) = (1)/(8) (2 theta + sin 2 theta) = (1)/(4) theta + (1)/(8) sin 2 theta

Passo 3

Agora precisamos voltar pra variável x , pra isso vamor lembrar que:

(sqrt(1 - 4 x^2))/(1) = cos theta e (2 x)/(1) = sin theta -> arcsin 2 x = theta

E que:

sin 2 theta = 2 sin theta cos theta

Assim:

(1)/(4) theta + (1)/(8) sin 2 theta = (1)/(4) arcsin 2 x + (1)/(8) (2 xx 2 x xx sqrt(1 - 4 x^2))

(1)/(4) theta + (1)/(8) sin 2 theta = (1)/(4) arcsin 2 x + (1)/(2) x sqrt(1 - 4 x^2)

Temos, então:

int sqrt(1 - 4 x^2) d x = (1)/(4) arcsin 2 x + (1)/(2) x sqrt(1 - 4 x^2)

Lembrando sempre da constante:

int sqrt(1 - 4 x^2) d x = (1)/(4) arcsin 2 x + (1)/(2) x sqrt(1 - 4 x^2) + k

Resposta

int sqrt(1 - 4 x^2) d x = (1)/(4) arcsin 2 x + (1)/(2) x sqrt(1 - 4 x^2) + k

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