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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.4 - Ex. 46

Faça a substituição para expressar o integrando como uma função racional e então avalie a integral.

∫ 1 x 3 + x 4   d x

Passo 1

Vamos fazer uma substituição um pouco estranha, mas que vai ajudar bastante:

u = x 12         ⇒         x = u 12

d x = 12 u 11   d u

Então:

I = ∫ 12 u 11 u 4 + u 3   d u

Agora podemos dividir tudo por u 3 :

I = ∫ 12 u 8 u + 1   d u

Passo 2

Em seguida, podemos usar a divisão longa para resolver esse quociente:

12 u 8 u + 1 = 12 u 7 - u 6 + u 5 - u 4 + u 3 - u 2 + u - 1 + 1 u + 1

Se você já não tiver visto esse resultado antes, é natural que ele pareça estranho. Mas podemos verificar que está correto se multiplicarmos por ( u + 1 ) dos dois lados:

u 8 = u 8 - u 7 + u 6 - u 5 + u 4 - u 3 + u 2 - u + u u + 1 + u 7 - u 6 + … - 1 + 1 u + 1

Então nossa integral fica:

I = ∫ 12 u 8 u + 1   d u = ∫ 12 u 7 - u 6 + u 5 - u 4 + u 3 - u 2 + u - 1 + 1 u + 1   d u

Que é apenas uma integral de polinômio:

I = 3 2 u 8 - 12 7 u 7 + 2 u 6 - 12 5 u 5 + 3 u 4 - 4 u 3 + 6 u 2 - 12 u + 12 ln ⁡ u + 1 + C

Passo 3

Agora só fica faltando desfazer a nossa substituição:

u = x 1 12

Então:

I = 3 2 x 2 3 - 12 7 x 7 12 + 2 x - 12 5 u 5 12 + 3 u 1 3 - u 1 4 + 6 u 1 6 - 12 x 1 12 + 12 ln ⁡ x 1 12 + 1 + C

Resposta

A integral vale 3 2 x 2 3 - 12 7 x 7 12 + 2 x - 12 5 u 5 12 + 3 u 1 3 - u 1 4 + 6 u 1 6 - 12 x 1 12 + 12 ln ⁡ x 1 12 + 1 + C .

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