Calcule

∫ 1 4 + x 2 d x

Passo 1

Existe uma relação tal que:

d arctan ⁡ x d x = 1 1 + x 2

Então, vamos mecher com a função da integral:

f x = 1 4 + x 2 = 1 4 1 + x 2 4 = 1 4 × 1 1 + x 2 4 = 1 4 × 1 1 + x 2 2

Passo 2

Vamos integrar:

∫ 1 4 + x 2 d x = ∫ 1 4 × 1 1 + x 2 2 d x = 1 4 ∫ 1 1 + x 2 2

Vamos fazer uma substituição, tal que:

u = x 2 → d u = d x 2

Assim:

  1 4 ∫ 1 1 + x 2 2 d x = 1 4 × 2 ∫ 1 1 + u 2 d u = 1 2 arctan ⁡ u + k

Voltando pra variável x :

1 2 arctan ⁡ u + k = 1 2 arctan ⁡ x 2 + k

Passo 3

Voltando pra variável x :

1 2 arctan ⁡ u + k = 1 2 arctan ⁡ x 2 + k

Resposta

1 2 arctan ⁡ u + k = 1 2 arctan ⁡ x 2 + k

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