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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 1d

Calcule

int (1)/(4 + x^2) d x

Passo 1

Existe uma relação tal que:

(d (arctan (x)))/(d x) = (1)/(1 + x^2)

Então, vamos mecher com a função da integral:

f (x) = (1)/(4 + x^2) = (1)/(4 (1 + (x^2)/(4))) = (1)/(4) xx (1)/(1 + (x^2)/(4)) = (1)/(4) xx (1)/(1 + ((x)/(2))^2)

Passo 2

Vamos integrar:

int (1)/(4 + x^2) d x = int (1)/(4) xx (1)/(1 + ((x)/(2))^2) d x = (1)/(4) int (1)/(1 + ((x)/(2))^2)

Vamos fazer uma substituição, tal que:

u = (x)/(2) -> d u = (d x)/(2)

Assim:

(1)/(4) int (1)/(1 + ((x)/(2))^2) d x = (1)/(4) xx 2 int (1)/(1 + (u)^2) d u = (1)/(2) arctan u + k

Voltando pra variável x :

(1)/(2) arctan u + k = (1)/(2) arctan (x)/(2) + k

Passo 3

Voltando pra variável x :

(1)/(2) arctan u + k = (1)/(2) arctan (x)/(2) + k

Resposta

(1)/(2) arctan u + k = (1)/(2) arctan (x)/(2) + k

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