Enunciado

Calcule a integral.

∫ x - 9 x + 5 x - 2 d x

Passo 1

Temos que

x - 9 x + 5 x - 2 = A x + 5 + B x + 2

Passo 2

Agora, a gente multiplica os dois lados por ( x + 5 ) ( x - 2 ) pra gente conseguir x - 9 = A x - 2 + B ( x + 5 ) .

Substituindo x por 2 a gente tem que

2 - 9 = A 2 - 2 + B 2 + 5

- 7 = 7 B

B = - 1  

Substituindo x por - 5 , temos

- 5 - 9 = A - 5 - 2 + B - 5 + 5

- 14 = - 7 A

A = 2

Passo 3

Assim, resolvendo nossa integral, finalmente, a gente tem

∫ x - 9 x + 5 x - 2 d x = ∫ 2 x + 5 + - 1 x - 2 d x = 2 ln ⁡ | x + 5 | - ln ⁡ x - 2 + C

Resposta

2 ln ⁡ | x + 5 | - ln ⁡ x - 2 + C .

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