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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 1q

Calcule

q ) int x^2 sin x d x

Passo 1

Nesse caso vamos usar a integração por partes, sendo que o objetivo da integração por partes é usar uma integral do tipo:

Se temos duas funções u (w) e v (w) podemos dizer que:

int u d v = u v - int v d u

Para esse caso é mais fácil fazer u = x^2 -> d u = 2 x d x e v = - cos x -> d v = sin x d x

Assim:

int x^2 sin x d x = [- x^2 cos x - (- int 2 x cos x d x)]

= [- x^2 cos x + 2 int x cos x d x]

int x^2 sin x d x = [- x^2 cos x + 2 int x cos x d x]

Passo 2

Agora vamos integrar:

int x^2 sin x d x = [- x^2 cos x + 2 int x cos x d x]

Vamos ter outra integração por partes:

int x cos x d x

Vamos usar novamente: u = x -> d u = d x e v = sin x -> d v = cos x d x

int x cos x d x = x sin x - int sin x d x =

int x cos x d x = x sin x + cos x

Agora substituindo:

int x^2 sin x d x = [- x^2 cos x + 2 [x sin x + cos x]]

int x^2 sin x d x = - x^2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x

Não esquecendo da constante:

int x^2 sin x d x = - x^2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + k

Resposta

int x^2 sin x d x = - x^2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + k

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