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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 1o

Calcule

o ) int x^3 cos x^2 d x

Passo 1

Primeiro vamos fazer uma substituição tal que:

w = x^2 -> d w = 2 x d x

(1)/(2) int w cos w d w

Nesse caso vamos usar a integração por partes, sendo que o objetivo da integração por partes é usar uma integral do tipo:

Se temos duas funções u (w) e v (w) podemos dizer que:

int u d v = u v - int v d u

Para esse caso é mais fácil fazer u = w -> d u = d w e v = sin w -> d v = cos w d w

Assim:

(1)/(2) int w cos w d w = (1)/(2) [w sin w - int sin w d w]

Passo 2

Agora vamos integrar:

(1)/(2) int w cos w d w = (1)/(2) [w sin w - int sin w d w] = (1)/(2) [w sin w + cos w]

Voltando pra variável x :

int x^3 cos x^2 d x = (1)/(2) int w cos w d w = (1)/(2) [w sin w + cos w] = (1)/(2) [x^2 sin x^2 + cos x^2]

Não esquecendo da constante:

int x^3 cos x^2 d x = (1)/(2) [x^2 sin x^2 + cos x^2] + k

Resposta

int x^3 cos x^2 d x = (1)/(2) [x^2 sin x^2 + cos x^2] + k

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