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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 1i

Calcule

i ) int (ln x)^2 d x

Passo 1

Nesse caso vamos usar a integração por partes, sendo que o objetivo da integração por partes é usar uma integral do tipo:

Se temos duas funções u (x) e v (x) podemos dizer que:

int u d v = u v - int v d u

No nosso caso é mais fácil usar o d x = d v já que achar uma primitiva de x d x é mais fácil do que achar uma primitiva de ln^2 x

Assim:

d v = d x -> v = x

(d ((ln x)^2))/(d x) = (2 ln x)/(x) -> d u = (2 ln x)/(x) d x

int (ln x)^2 = (ln x)^2 x - int x xx (2 ln x)/(x) d x = (ln x)^2 x - 2 int ln x d x

int (ln x)^2 = (ln x)^2 x - 2 int ln x d x

Passo 2

Agora vamos integrar:

int (ln x)^2 = (ln x)^2 x - 2 int ln x d x

Pelo que dá pra ver temos outra integral que pode ser resolvida por partes:

int ln x d x

Novamente, é mais fácil de resolver sendo d v = d x assim:

int ln x d x = xln x - int (1)/(x) xx x d x = xln x - int d x

int ln x d x = xln x - x

Passo 3

Substituindo:

int (ln x)^2 = (ln x)^2 x - 2 [xln x - x] + k =

= x (ln x)^2 - 2 x ln x + 2 x + k = x [ln^2 x - 2 ln x + 2] + k

Lembrando sempre da constante

Resposta

int (ln x)^2 = x [ln^2 x - 2 ln x + 2] + k

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