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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 1j

Calcule

j ) int x e^(2 x) d x

Passo 1

Nesse caso vamos usar a integração por partes, sendo que o objetivo da integração por partes é usar uma integral do tipo:

Se temos duas funções u (x) e v (x) podemos dizer que:

int u d v = u v - int v d u

No nosso caso é mais fácil derivar x = u -> d x = d u e usar e^(2 x) d x = d v -> (e^(2 x))/(2) = v

Assim:

int x e^(2 x) = (x e^(2 x))/(2) - int (e^(2 x))/(2) d x = (x e^(2 x))/(2) - (1)/(2) int e^(2 x) d x

int x e^(2 x) = (x e^(2 x))/(2) - (1)/(2) int e^(2 x) d x

Passo 2

Agora vamos integrar:

int x e^(2 x) = (x e^(2 x))/(2) - (1)/(2) int e^(2 x) d x

Agora temos a integral:

int e^(2 x) d x

Se usarmos

2 x = w -> d w = 2 d x -> (d w)/(2) = d x

Assim:

(1)/(2) int e^w d w

Sabemos que

(d (e^w))/(d w) = e^w

Então:

(1)/(2) int e^w d w = (1)/(2) e^w + k

Temos agora que voltar pra variável x

(1)/(2) e^w + k = (1)/(2) e^(2 x) + k

Passo 3

Substituindo:

int x e^(2 x) = (x e^(2 x))/(2) - (1)/(4) e^(2 x) + k = (e^(2 x))/(2) [x - (1)/(2)] + k

Lembrando sempre da constante

Resposta

int x e^(2 x) = (e^(2 x))/(2) [x - (1)/(2)] + k

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