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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 1m

Calcule:

int e^(- 2 x) sen x d x

Passo 1

Faaaaaaaaala aí, tudo certinho?

Vamos resolver mais um exercício proposto pelo meu digníssimo amigo Guidorizzi!

Veja bem, repara que dentro da nossa integral temos dois “tipos” de função: uma exponencial e uma trigonométrica. Quando encontrarmos algo do tipo, podemos resolver essa integral aplicando integração por partes, que pode ser dada pela seguinte fórmula:

int u d v = u v - int v d u

E para isso, precisamos nomear os termos de u e d v . Vamos definir,

u = e^(- 2 x)

d v = sen x d x

E por consequência:

d u = - 2 e^(- 2 x)

v = - cos x

Agora, é só aplicarmos na fórmula:

int e^(- 2 x) sen x d x = - e^(- 2 x) cos x - int - cos (x) (- 2 e^(- 2 x)) d x

int e^(- 2 x) sen x d x = - e^(- 2 x) cos x - 2 int e^(- 2 x) cos x d x

Agora, temos que usar integração por partes no segundo termo da igualdade.

Passo 2

Resolvendo por integração por partes, teremos:

int e^(- 2 x) cos x d x

E para isso, precisamos nomear os termos de u e d v , vamos chamar:

u = e^(- 2 x)

d v = cos x d x

E por consequência:

d u = - 2 e^(- 2 x)

v = sen x

int e^(- 2 x) cos x d x = e^(- 2 x) sen x - int sen x (- 2 e^(- 2 x)) d x

int e^(- 2 x) cos x d x = e^(- 2 x) sen x + 2 int e^(- 2 x) sen x d x

Passo 3

Substituindo na equação do passo 1, temos:

int e^(- 2 x) sen x d x = - e^(- 2 x) cos x - 2 int e^(- 2 x) cos x d x

Essa integral a gente já resolveu no passo 2, então,

int e^(- 2 x) sen x d x = - e^(- 2 x) cos x - 2 [e^(- 2 x) sen x + 2 int e^(- 2 x) sen x d x]

Ajeitando,

int e^(- 2 x) sen x d x = - e^(- 2 x) cos x - 2 e^(- 2 x) sen x - 4 int e^(- 2 x) sen x d x

Juntando termos em comum, em outras palavras, passando todas as integrais para o mesmo lado, temos:

int e^(- 2 x) sen x d x + 4 int e^(- 2 x) sen x d x = - e^(- 2 x) cos x - 2 e^(- 2 x) sen x

Resolvendo:

5 int e^(- 2 x) sen x d x = - e^(- 2 x) cos x - 2 e^(- 2 x) sen x

Passando 5 dividindo:

int e^(- 2 x) sen x d x = - (e^(- 2 x) cos x)/(5) - (2 e^(- 2 x) sen x)/(5) + C

Viu só? Terminamos!

Resposta

int e^(- 2 x) sen x d x = - (e^(- 2 x) cos x)/(5) - (2 e^(- 2 x) sen x)/(5) + C

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