Calcule:

∫ e - 2 x sen ⁡ x d x

Passo 1

Faaaaaaaaala aí, tudo certinho?

Vamos resolver mais um exercício proposto pelo meu digníssimo amigo Guidorizzi!

Veja bem, repara que dentro da nossa integral temos dois “tipos” de função: uma exponencial e uma trigonométrica. Quando encontrarmos algo do tipo, podemos resolver essa integral aplicando integração por partes, que pode ser dada pela seguinte fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

E para isso, precisamos nomear os termos de u e d v . Vamos definir,

u = e - 2 x

d v = sen ⁡ x d x

E por consequência:

d u = - 2 e - 2 x

v = - cos ⁡ x

Agora, é só aplicarmos na fórmula:

∫ e - 2 x sen ⁡ x d x = - e - 2 x cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x - 2 e - 2 x d x

∫ e - 2 x sen ⁡ x d x = - e - 2 x cos ⁡ x - 2 ∫ e - 2 x cos ⁡ x d x

Agora, temos que usar integração por partes no segundo termo da igualdade.

Passo 2

Resolvendo por integração por partes, teremos:

∫ e - 2 x cos ⁡ x d x

E para isso, precisamos nomear os termos de u e d v , vamos chamar:

u = e - 2 x

d v = cos ⁡ x d x

E por consequência:

d u = - 2 e - 2 x

v = sen ⁡ x

∫ e - 2 x cos ⁡ x d x = e - 2 x sen ⁡ x - ∫ sen x  ⁡ - 2 e - 2 x d x

∫ e - 2 x cos ⁡ x d x = e - 2 x sen ⁡ x + 2 ∫ e - 2 x sen ⁡ x d x

Passo 3

Substituindo na equação do passo 1, temos:

∫ e - 2 x sen ⁡ x d x = - e - 2 x cos ⁡ x - 2 ∫ e - 2 x cos ⁡ x d x

Essa integral a gente já resolveu no passo 2, então,

∫ e - 2 x sen ⁡ x d x = - e - 2 x cos ⁡ x - 2 e - 2 x sen ⁡ x + 2 ∫ e - 2 x sen ⁡ x d x

Ajeitando,

∫ e - 2 x sen ⁡ x d x = - e - 2 x cos ⁡ x - 2 e - 2 x sen ⁡ x - 4 ∫ e - 2 x sen ⁡ x d x

Juntando termos em comum, em outras palavras, passando todas as integrais para o mesmo lado, temos:

∫ e - 2 x sen ⁡ x d x + 4 ∫ e - 2 x sen ⁡ x d x = - e - 2 x cos ⁡ x - 2 e - 2 x sen ⁡ x

Resolvendo:

5 ∫ e - 2 x sen ⁡ x d x = - e - 2 x cos ⁡ x - 2 e - 2 x sen ⁡ x

Passando 5 dividindo:

∫ e - 2 x sen ⁡ x d x = - e - 2 x cos ⁡ x 5 - 2 e - 2 x sen ⁡ x 5 + C

Viu só? Terminamos!

Resposta

∫ e - 2 x sen ⁡ x d x = - e - 2 x cos ⁡ x 5 - 2 e - 2 x sen ⁡ x 5 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados